Giải Toán 9 Cánh diều Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 106, 107, 108, 109, 110.
Giải Toán 9 trang 106
Hoạt động 1 trang 106 Toán 9 Tập 1:
Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Gọi H là hình chiếu của tâm O trên đường thẳng a (Hình 33).
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R.
b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R) hay không?
d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
Hướng dẫn giải
a) Vì đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên khoảng cách OH từ tâm O đến đường thẳng a bằng bán kính R.
Vậy OH = R.
b) Vì OH = R nên điểm H có thuộc đường tròn (O; R).
c) Điểm H là điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O; R) nên H là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R).
d) Đường thẳng a vuông góc với bán kính OH đi qua tiếp điểm H.
Giải Toán 9 trang 107
Luyện tập 1 trang 107 Toán 9 Tập 1:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C. Chứng minh AO2 + BC2 = BO2 + AC2.
Hướng dẫn giải
Vì đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại điểm C nên OC ⊥ AC tại C.
Xét ∆OAC vuông tại C, ta có: AO2 = AC2 + CO2 (định lí Pythagore).
Suy ra CO2 = AO2 - AC2.
Xét ∆OBC vuông tại C, ta có: BO2 = BC2 + CO2 (định lí Pythagore).
Suy ra CO2 = BO2 - BC2.
Do đó AO2 - AC2 = BO2 - BC2
Hay AO2 + BC2 = BO2 + AC2.
Hoạt động 2 trang 107 Toán 9 Tập 1:
Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn (O; R) và a ⊥ OH (Hình 35).
a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R.
b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?
Hướng dẫn giải
a) Vì OH ⊥ a tại H nên khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH = R.
b) Ta có ON, OH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng a nên ON > OH hay ON > R.
Do đó điểm N nằm ngoài đường tròn (O; R).
c) Ta có a vuông góc với bán kính OH tại điểm H nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm H.
Luyện tập 2 trang 107 Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I. Gọi d là tiếp tuyến của (O; R) tại điểm I. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O’; R’).
Hướng dẫn giải
Vì đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I nên ba điểm O, I, O’ thẳng hàng và I nằm giữa O và O’.
Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I nên d ⊥ OI tại I.
Do đó d ⊥ O’I tại I, mà I thuộc đường tròn (O’; R’) nên d là tiếp tuyến của (O’; R’).
Giải Toán 9 trang 108
Luyện tập 3 trang 108 Toán 9 Tập 1:
Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Chứng minh đường thẳng O’B là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hoạt động 3 trang 108 Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (Hình 38).
a) Các tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không?
b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau hay không?
c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB hay không?
d) Tia OM có phải tia phân giác của góc AOB hay không?
Giải Toán 9 trang 109
Bài 1 trang 109 Toán 9 Tập 1:
Ròng rọc là một loại máy cơ đơn giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 41a, có một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc.
Giả sử ròng rọc được minh họa bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh họa bởi nửa đường tròn MtN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b). Chứng minh Ma // Nb.
Hướng dẫn giải
Do Ma, Nb là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M nên Ma ⊥ OM tại M và Nb ⊥ ON tại N.
Mà MtN là nửa đường tròn nên MN là đường kính đi qua tâm O.
Do đó Ma ⊥ MN và Nb ⊥ MN, suy ra Ma // Nb.
Bài 2 trang 109 Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) thỏa mãn điểm B nằm trong góc MAO và (widehat {MAB} = frac{1}{2} AOB). Chứng minh đường thẳng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải Toán 9 trang 110
Bài 3 trang 110 Toán 9 Tập 1:
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.
Bài 4 trang 110 Toán 9 Tập 1:
Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB = 5 m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O) (minh họa như Hình 42). Tính độ dài của đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB = OC ≈ 6 400 km.
(Nguồn: Toán 9 - Tập một, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017)
Hướng dẫn giải
Theo bài, ta có: AB = 5 m = 0,005 km.
Khi đó, OA = OB + AB ≈ 6 400 + 0,005 = 6 400,005 (km).
Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AC ⊥ OC tại C, hay (widehat {OCA})=90°.
Do đó ∆OAC vuông tại C.
Theo định lí Pythagore, ta có:
OA2 = OC2 + AC2
Suy ra AC2 = OA2 - OC2 ≈ 6 400,0052 - 6 4002 = 64,000025.
Do đó AC=(sqrt{64,000025})≈8,0(km).
Vậy AC ≈ 8,0 km.
Bài tiếp theo: Toán 9 Cánh diều Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp
