Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
A. LÝ THUYẾT
1. Giới hạn sinxx
Định lý 1.
limx→0sinxx=1.
Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1
Lời giải
Đặt x - 1 = t.
Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.
limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lý 2.
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (sinx)’ = cosx.
Chú ý:
Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32
Lời giải
y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Định lý 3.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (cosx)’ = - sinx.
Chú ý:
Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.
Lời giải
Đặt u=π2−x
⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.
Thay x=π3 vào y’ ta được:
y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.
Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Định lý 4.
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và (tanx)’ = 1cos2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx
Lời giải
Đặt u = 2 + tanx
y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Định lý 5.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và (cotx)’ = −1sin2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = −u'sin2u.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.
Lời giải
y’ = (cot x2)’ = (x2)’.-1sinx22=−2xsinx22.
6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các đạo hàm sau:
a) y=3tan2x+cot2x
b) y=−cosx3sin3x+43cotx
c) y=cos2sin3x
d) y=xsinx
Lời giải
a)
y'=3tan2x+cot2x'23tan2x+cot2x=6tanx.1cos2x−2sin22x23tan2x+cot2x=6sinxcos3x−12.sin2x.cos2x23tan2x+cot2x
b)
y'=−cosx3sin3x+43cotx'=sinx.3sin3x+cosx.9.sin2x.cosx3sin3x2−43sin2x=sin2x+3cos2x3sin4x−43sin2x=3cos2x−3sin2x3sin4x=cos2x−sin2xsin4x
c)
y'=cos2sin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.−sinsin3xsin3x'=−2.cossin3x.sinsin3x3sin2x.cosx=−6.cossin3x.sinsin3xsin2x.cosx
d)
y'=x'.sinx−x.sinx'sinx2=sinx−x.cosxsinx2
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.
a) y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x
b) y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x
Lời giải
a)
y'=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x'=6sin5xcosx−6cos5x.sinx+6sinxcos3x−6sin3xcosx=6sinxcosxsin4x−cos4x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2xsin2x+cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=−6sinxcosxcos2x−sin2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=0
b)
y'= 2cosπ3−xsinπ3−x−2cosπ3+xsinπ3+x+2cos2π3−xsin2π3−x−2cos2π3+xsin2π3+x−4sinxcosx= sin2π3−2x−sin2π3+2x+sin4π3−2x−sin4π3+2x−2sin2x= −2cos2π3sin2x−2cos4π3sin2x−2sin2x= sin2x+sin2x−2sin2x=0
Bài 3. Tìm f’(2) biết f(x) = x2.sin(x - 2).
Lời giải
Ta có : f’(x) = 2x.sin(x - 2) + x2cos(x - 2)
Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 - 2) + 22.cos(2 - 2)
= 4.0 + 4.1
= 0 + 4
= 4.
Vậy f’(2) = 4.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Câu 1. Hàm số y=fx=2cosπx có f'3 bằng:A. 2π
B. 8π3
C. 433
D. 0
Câu 2. Cho hàm số y=cos3x.sin2x. Tính y'π3 bằng:A. y'π3=−1
B. y'π3=1
C. y'π3=−12
D. y'π3=12
Câu 3. Cho hàm số y=fx=sinx+cosx . Giá trị f'π216 bằng:A. 0
B. 2
C. 2π
D. 22π
Câu 4. Xét hàm số y=fx=2sin5π6+x. Tính giá trị f'π6 bằng:A. -1
B. 0
C. 2
D. -2
Câu 5. Cho hàm số y=fx=tanx−2π3. Giá trị f'0 bằng:A. 4
B. 3
C. −3
D. 3
Câu 6. Cho hàm số y=2cos3x . Khi đó y'π3 là:A. 322⋅
B. −322⋅
C. 1
D. 0
Câu 7. Cho hàm số y=cos2x1−sinx . Tính y'π6 bằng:A. y'π6=1
B. y'π6=−1
C. y'π6=3
D. y'π6=−3
Câu 8. Cho hàm số y=fx=tanx+cotx . Giá trị f'π4 bằng:A. 2
B. 22
C. 0
D. 12
Câu 9. Hàm số y=sinx−xcosxcosx+xsinx có đạo hàm bằng
A. −x2.sin2x(cosx+xsinx)2
B. −x2.sin2x(cosx+xsinx)2
C. −x2.cos2x(cosx+xsinx)2
D. xcosx+xsinx2
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số sau: y=2sin24x−3cos35x .A. y'=sin8x+452cos5x.sin10x
B. y'=8sin8x+52cos5x.sin10x
C. y'=8sinx+452cos5x.sin10x
D. y'=8sin8x+452cos5x.sin10x
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Ôn tập chương 4
Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai
Lý thuyết Ôn tập chương 5
