1. Lý thuyết phép biến hình

1.1. Phép biến hình là gì?

Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một và chỉ một điểm M. Ảnh của điểm M qua phép biến hình được gọi là điểm M’.Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó chính là phép đồng nhất.

1.2. Ký hiệu

Nếu chúng ta kí hiệu phép biến hình là f$Rightarrow$ f(M) = M' (f biến M thành M')M' được gọi là ảnh của M khi đi qua f.

1.3. Ví dụ

Ví dụ 1: Ta sẽ được một phép biến hình khi cho đường thẳng d. Với mỗi một điểm M ta xác định được điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M trên d.Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d được gọi là phép biến hình.Ví dụ 2: Với mỗi một điểm M ta xác định được điểm M’ theo quy tắc $overrightarrow{MM'}=vec{u}$ theo vecto $vec{u}$Ví dụ 3: Ta xác định được điểm M’ trùng với điểm M, với mỗi điểm M đã cho thì ta có được một phép biến hình, được gọi là phép đồng nhất.

2. Các phép biến hình lớp 11

Có bao nhiêu phép biến hình trong dạng bài phép biến hình lớp 11? Hãy cùng tìm hiểu ngay sau đây.

2.1. Phép tịnh tiến

Trong một mặt phẳng cho vecto $overrightarrow{v}(a,b)$. Phép tịnh tiến theo một vecto $overrightarrow{v}$ là một phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $=overrightarrow{MM'}=vec{v}$Kí hiệu: $T_{overrightarrow{v}}$Tính chất:Biểu thức tọa độ: Ví dụ: Cho $overrightarrow{v}(a,b)$ và điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo vecto $overrightarrow{v}$ biến điểm M thành điểm M’ thì M’ sẽ có tọa độ như sau:$left{begin{matrix} x'=a+x y'=b+y end{matrix}right.$Ví dụ: Cho vecto $overrightarrow{u}(1,3)$ và cho đường thẳng d: 2x−y+3=0 trong mặt phẳng Oxy. Đường thẳng d′ được gọi là ảnh của d qua phép tịnh tiến $T_{bar{u}}$. Hãy viết phương trình.Giải:Lấy điểm M(0;−3) là điểm bất kì trên dGọi $T_{bar{u}}(M)=M′$. Khi đó M′(1;0)Vì d′//d ⇒ d′:2x−y+c=0Vì M′(1;0) ∈ d′ ⇒ c=−2Phương trình d′: 2x−y−2=0

2.2. Phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.Tính chất:

2.3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục d là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho d là đường trung trực của MM’.Kí hiệu: $D_{d}$Tính chất: Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (x,y) và điểm M’(x’,y’):Nếu $M'=D_{Ox}(M)$ thì $left{begin{matrix} x'=x y'=-y end{matrix}right.$Nếu $M'=D_{Oy}(M)$ thì $left{begin{matrix} x'=-x y'=y end{matrix}right.$Ví dụ: Cho đường thẳng d: x−2y+4=0 và điểm M(1;5) trong mặt phẳng Oxy. Xác định ảnh M′ của M qua phép đối xứng trục $D_{d}$.Giải:Có đường thẳng d: x−2y+4=0⇒ $vec{u}(1;−2)$ là vtpt của d⇒ $vec{n}(2;1)$ là vtcp của dVì d là trung trực của MM′⇒ $vec{n}(2;1)$ là vtpt của MM′⇒ MM′: 2x+y−7=0Gọi K = MM′ ∩ d ⇒ tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình sau đây:$begin{matrix} left{begin{matrix} x-2y+4=0 2x+y-7=0 end{matrix}right. Rightarrow & left{begin{matrix} x=2 y=3 end{matrix}right.& end{matrix}$Vậy điểm K(2;3). M′=(3;1) vì K chính là trung điểm MM′.

2.4. Phép đối xứng tâm

Đối với mặt phẳng bất kì và điểm E cho trước $epsilon$ mặt phẳng. Phép biến hình biến M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho $overline{EM'} = overline{-EM}$.Đây gọi là phép đối xứng tâm E.Kí hiệu: Đ$_{E}(M)=M'$Tính chất:Biểu thức tọa độ:Trong một mặt phẳng bất kỳ và điểm E với tọa độ cho trước và điểm M $(x_{0},y_{0})$. Đ$_{E}(M)=M'(x'_{0},y'_{0})$ có biểu thức tọa độ là: Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng ôn kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán sớm đạt 9+

2.5. Phép quay

Phép quay có góc α tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và (OM, OM') = α.Kí hiệu: $Q_{(O,alpha)}$ (O là tâm phép quay, $alpha$ là góc quay lượng giác).$Q_{(O,alpha)}(M)=M' Rightarrow left{begin{matrix} OM=OM' (OM,OM')=alpha end{matrix}right.$Tính chất:Biểu thức tọa độ:

2.6. Phép đồng dạng

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng với tỉ số k (k>0).Nếu 2 điểm M và N bất kì và ảnh M' và N' của chúng ta có đoạn M'N'=k.MNCác phép dời hình như phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm,... là phép đồng dạng có tỉ số k=1. Phép đồng dạng có tỉ số |k| cũng chính là phép vị tự.Phép đồng dạng không phải phép dời hình. Khi k=1 nó mới là phép dời hình.Tính chất: Phép đồng dạng với tỉ số k sẽ:

2.7. Phép vị tự

Phép vị tự có tâm O tỉ số k là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $overrightarrow{OM'}$=k lần $overrightarrow{OM}$Kí hiệu: $V_{(O;k)}(M)=M'$ <=> $overrightarrow{OM'}=koverrightarrow{OM}$Tính chất:Biểu thức tọa độ:

3. Ứng dụng phép biến hình vào bài giải toán quỹ tích

Các phép biến hình lớp 11 được ứng dụng vào bài giải toán quỹ tích. Dưới đây là các phương pháp ứng dụng phép biến hình vào bài:Ta chỉ ra được vecto $bar{v}$ cố định. Xét phép tịnh tiến $T_{bar{v}}$ biến M thành điểm M′. Biết điểm M chạy trên đường C t...

4. Một số bài tập về phép biến hình lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao

4.1. Bài tập vận dụng (có lời giải)

Bài 1: Cho một đường tròn có bán kính R=2, tâm (1,-1). Đường tròn (S) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự tâm O tỉ số (-2) và phép tịnh tiến vecto $bar{v}(-1,2)$. Khi ấy tâm và bán kính của đường tròn là?G...

4.2. Bài tập trắc nghiệm (có đáp án)

Bài 1: Chọn khẳng định nào sai trong các đáp án sau:A. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng khác bằng nó bằng phép tịnh tiến.B. Phép tịnh tiến có thể biến một tam giác thành tam giác khác bằng nó.C. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng khác trùng...