Chúng ta đã quen thuộc với bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức New - tơn ${{(a+b)}^{n}}.$
Trong bài viết này thầy sẽ đề cập đến cách tìm hệ số nhỏ nhất, ta cùng xét khai triển
Bài toán: Giả sử ${{(2x-1)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm $min left{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{n}} right}$, biết n là số tự nhiên thoả mãn $C_{n}^{6}+3C_{n}^{7}+3C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8}$.
Lời giải:
Điều kiện bài toán ta có: $begin{align} & C_{n}^{6}+3C_{n}^{7}+3C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8} & Leftrightarrow C_{n}^{6}+C_{n}^{7}+2left( C_{n}^{7}+C_{n}^{8} right)+C_{n}^{8}+C_{n}^{9}=2C_{n+2}^{8} & Leftrightarrow C_{n+1}^{7}+2C_{n+1}^{8}+C_{n+1}^{9}=2C_{n+2}^{8} & Leftrightarrow left( C_{n+1}^{7}+C_{n+1}^{8} right)+left( C_{n+1}^{8}+C_{n+1}^{9} right)=2C_{n+2}^{8} & Leftrightarrow C_{n+2}^{8}+C_{n+2}^{9}=2C_{n+2}^{8} & Leftrightarrow C_{n+2}^{9}=C_{n+2}^{8}Leftrightarrow C_{n+2}^{9}=C_{n+2}^{n-6}Leftrightarrow n-6=9Leftrightarrow n=15 end{align}$. Khi đó ${{left( 2x-1 right)}^{15}}=sumlimits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{2}^{k}}{{x}^{k}}.{{(-1)}^{15-k}}$.
Vậy hệ số nhỏ nhất phải ứng với ${{a}_{2k}}=C_{15}^{2k}{{2}^{k}}{{(-1)}^{15-2k}}$(hệ số chứa luỹ thừa chẵn của x).
Ta so sánh
$begin{gathered} left{ begin{gathered} {a_{2k}} leqslant {a_{2k + 2}} hfill {a_{2k}} leqslant {a_{2k - 2}} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} C_{15}^{2k}{2^{2k}}{( - 1)^{15 - 2k}} leqslant C_{15}^{2k + 2}{2^{2k + 2}}{( - 1)^{13 - 2k}} hfill C_{15}^{2k}{2^{2k}}{( - 1)^{15 - 2k}} leqslant C_{15}^{2k - 2}{2^{2k - 2}}{( - 1)^{17 - 2k}} hfill end{gathered} right. hfill Leftrightarrow left{ begin{gathered} C_{15}^{2k} geqslant 4C_{15}^{2k + 2} hfill 4C_{15}^{2k} geqslant C_{15}^{2k - 2} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{1}{{(15 - 2k)(14 - 2k)}} geqslant frac{4}{{(2k + 2)(2k + 1)}} hfill frac{4}{{2k(2k - 1)}} geqslant frac{1}{{(17 - 2k)(16 - 2k)}} hfill end{gathered} right. hfill end{gathered} $
Giải bất phương trình trên và chọn k nguyên có: $k=5Rightarrow min left{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{15}} right}={{a}_{10}}=-{{2}^{10}}C_{15}^{10}=-3075072$.
Các em cùng luyện tập lại phương pháp với bài toán dưới đây: Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{left( 2-dfrac{1}{3}x right)}^{20}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{left( 2-dfrac{1}{3}x right)}^{20}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.
Giải. Ta có ${{left( 2-frac{1}{3}x right)}^{20}}={{sumlimits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}left( -frac{1}{3}x right)}}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{20}{{{(-1)}^{k}}{{2}^{20}}{{.6}^{-k}}C_{20}^{k}{{x}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{20}{{{a}_{k}}{{x}^{k}}}.$
Do đó ${{a}_{k}}={{(-1)}^{k}}{{2}^{20}}{{.6}^{-k}}C_{20}^{k}.$
Do đó $min {{a}_{k}}=min left{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} right}=min left{ {{a}_{1}},{{a}_{3}},...,{{a}_{2k+1}},... right}.$
Ta xét ${{a}_{2k+1}}=-{{2}^{20}}{{.6}^{-2k-1}}C_{20}^{2k+1},$ so sánh nó với hai số hạng liền kề
ta có
[begin{gathered} left{ begin{gathered} {a_{2k + 1}} leqslant {a_{2k - 1}} hfill {a_{2k + 1}} leqslant {a_{2k + 3}} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {2^{20}}{.6^{ - 2k - 1}}C_{20}^{2k + 1} geqslant {2^{20}}{.6^{ - 2k + 1}}C_{20}^{2k - 1} hfill {2^{20}}{.6^{ - 2k - 1}}C_{20}^{2k + 1} geqslant {2^{20}}{.6^{ - 2k - 3}}C_{20}^{2k + 3} hfill end{gathered} right. hfill Leftrightarrow left{ begin{gathered} 36C_{20}^{2k - 1} leqslant C_{20}^{2k + 1} hfill C_{20}^{2k + 3} leqslant 36C_{20}^{2k + 1} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{36}}{{(21 - 2k)(20 - 2k)}} leqslant frac{1}{{(2k + 1)2k}} hfill frac{1}{{(2k + 3)(2k + 2)}} leqslant frac{{36}}{{(19 - 2k)(18 - 2k)}} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow k = 1 in mathbb{Z}. hfill end{gathered} ]
Ví dụ 3. Gọi ${{a}_{k}}$ là hệ số của số hạng chứa ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{(3-4x)}^{15}}.$ Tìm hệ số ${{a}_{k}}$ nhỏ nhất.
Dành cho các em tự làm.
Bài toán khác về nhị thức new - tơn các em xem ở đây: Links; http://vted.vn/tin-tuc/vtedvn-tim-n-thoa-man-dang-thuc-to-hop-lien-quan-den-he-so-cua-khai-trien-nhi-thuc-new-ton-thay-dang-thanh-nam-2209.html
