Giải Toán 7 Bài 28 (Kết nối tri thức): Phép chia đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 39 Tập 2

Mở đầu trang 39 Toán 7 Tập 2:

Bài toán: Tìm đa thức P sao cho A = B . P, trong đó

A = 2x4 - 3x3 - 3x2 + 6x - 2 và B = x2 - 2.

Tròn: “Mình nghĩ mãi là chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?”

Vuông: “Ừ nhỉ! Nếu A và B là hai số thì chỉ việc lấy A chia cho B là xong nhưng A và B lại là hai đa thức”.

Anh Pi: “Cũng thế thôi các em ạ. Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức”.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

2x4 : x2 = 2x2.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích B . 2x2 ta được dư thứ nhất là -3x3 + x2 + 6x - 2.

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x3) : x2 = -3x.

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B . (-3x) ta được dư thứ hai là x2 - 2.

Bước 5: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x2 : x2 = 1.

Bước 6: Lấy dư thứ hai trừ đi tích B . 1 ta được dư thứ ba là 0.

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x2 - 3x + 1.

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

HĐ 1 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:

a) 12x3 : 4x; b) (-2x4) : x4; c) 2x5 : 5x2.

Lời giải:

a) 12x3 : 4x =12x34x=3x2.

b) (-2x4) : x4 = −2x4x4=−2.

c) 2x5 : 5x2 =2x55x2=25x3.

HĐ 2 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Giả sử x ≠ 0. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Gọi hai lũy thừa của x lần lượt là xm và xn (m, n ∈ ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x là: xm : xn = xm-n.

Để xm-n là lũy thừa của x với số mũ nguyên dương thì m - n > 0 hay m > n.

Do đó m ∈ ℕ, n ∈ ℕ sao cho m > n.

b) Gọi hai lũy thừa của x cùng bậc là xm và xm (m ∈ ℕ).

Khi đó thương hai lũy thừa của x cùng bậc là: xm : xm = 1.

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1.

Luyện tập 1 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia sau:

a) 3x7 : 12x4; b) (-2x) : x; c) 0,25x5 : (-5x2).

Lời giải:

a) 3x7 : 12x4 = 3:12 . (x7 : x4) = 3 . 2 . x7-4 = 6x3.

b) (-2x) : x = -2. (x : x) = -2.

c) 0,25x5 : (-5x2) = [0,25 : (-5)]. (x5 : x2) = - 0,05x3.

Giải Toán 7 trang 41 Tập 2

Câu hỏi trang 41 Toán 7 Tập 2:

Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x2 - 5x + 1, nghĩa là xảy ra:

A = B . (2x2 - 5x + 1).

Lời giải:

Ta có B . (2x2 - 5x + 1)

= (x2 - 4x - 3) . (2x2 - 5x + 1)

= x2 . (2x2 - 5x + 1) + (-4x) . (2x2 - 5x + 1) - 3 . (2x2 - 5x + 1)

= (x2 . 2x2 - x2 . 5x + x2 . 1) + [(-4x) . 2x2 - (-4x) . 5x + (-4x) . 1]

- (3 . 2x2 - 3 . 5x + 3 . 1)

= (2x4 - 5x3 + x2) + (- 8x3 + 20x2 - 4x) - (6x2 - 15x + 3)

= 2x4 - 5x3 + x2 - 8x3 + 20x2 - 4x - 6x2 + 15x - 3

= 2x4 + (- 5x3 - 8x3) + (x2 + 20x2 - 6x2) + (- 4x + 15x) - 3

= 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

= A.

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x2 - 5x + 1.

Luyện tập 2 trang 41 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia:

a) (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2.

b) (9x2 - 4) : (3x + 2).

Lời giải:

a) (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2

= (-x6 : 0,5x2) + (5x4 : 0,5x2) + [(-2x3) : 0,5x2]

= (-1 : 0,5) . (x6 : x2) + (5 : 0,5) . (x4 : x2) + (-2 : 0,5) . (x3 : x2)

= - 2x4 + 10x2 - 4x

b) Ta đặt tính chia như sau:

Vậy (9x2 - 4) : (3x + 2) = 3x - 2.

Vận dụng trang 41 Toán 7 Tập 2:

Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

2x4 : x2 = 2x2.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích B . 2x2 ta được dư thứ nhất là -3x3 + x2 + 6x - 2.

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x3) : x2 = -3x.

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B . (-3x) ta được dư thứ hai là x2 - 2.

Bước 5: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x2 : x2 = 1.

Bước 6: Lấy dư thứ hai trừ đi tích B . 1 ta được dư thứ ba là 0.

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x2 - 3x + 1.

Giải Toán 7 trang 42 Tập 2

HĐ 3 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x3 - 3x2 - x + 7 cho đa thức E = x2 + 1 được viết gọn như sau:

Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức D chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức E.

5x3 : x2 = 5x.

Bước 2. Lấy D trừ đi tích E . 5x ta được dư thứ nhất là -3x2 - 6x + 7.

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức E.

-3x2 : x2 = -3.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E . (-3) ta được dư thứ hai là -6x + 10.

Bước 5. Đa thức -6x + 10 có bậc 1, đa thức E có bậc 2 nên phép chia dừng.

HĐ 4 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x3 - 3x2 - x + 7 cho đa thức E = x2 + 1 được viết gọn như sau:

Kí hiệu dư thứ hai là G = -6x + 10. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Lời giải:

Để thực hiện phép chia thì bậc của đa thức bị chia phải lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia.

Ta thấy bậc của đa thức dư G bằng 1, bậc của đa thức chia E bằng 2.

Do 1 < 2 nên phép chia không thể tiếp tục.

HĐ 5 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x3 - 3x2 - x + 7 cho đa thức E = x2 + 1 được viết gọn như sau:

Hãy kiểm tra lại đẳng thức: D = E . (5x - 3) + G.

Lời giải:

Ta có E . (5x - 3) + G

= (x2 + 1) . (5x - 3) + (-6x + 10)

= x2 . (5x - 3) + 1 . (5x - 3) - 6x + 10

= (x2 . 5x - 3 . x2) + (1 . 5x - 1 . 3) - 6x + 10

= (5x3 - 3x2) + (5x - 3) - 6x + 10

= 5x3 - 3x2 + 5x - 3 - 6x + 10

= 5x3 - 3x2 + (5x - 6x) + (-3 + 10)

= 5x3 - 3x2 - x + 7

= D.

Vậy D = E . (5x - 3) + G.

Luyện tập 3 trang 42 Toán 7 Tập 2:

Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A = 3x4 - 6x - 5 cho đa thức

B = x2 + 3x - 1 rồi viết A dưới dạng A = B . Q + R.

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta được:

Do đó dư R bằng -105x + 25; thương Q bằng 3x2 - 9x + 30.

Vậy 3x4 - 6x - 5 = (x2 + 3x - 1) . (3x2 - 9x + 30) - 105x + 25.

Thử thách nhỏ trang 42 Toán 7 Tập 2:

Tròn: “Đố Vuông tìm được dư trong phép chia x3 - 3x2 + x - 1 cho x2 - 3x”.

Vuông: “Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là x - 1”.

Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Lời giải:

Ta có: x3 - 3x2 + x - 1 = (x3 - 3x2) + (x - 1) = x(x2 - 3x) + (x - 1).

Đa thức x3 - 3x2 chia cho đa thức x2 - 3x được kết quả là x, dư 0.

Nên dư của phép chia đa thức x3 - 3x2 + x - 1 cho đa thức x2 - 3x là dư của phép chia đa thức x - 1 cho đa thức x2 - 3x.

Bậc của đa thức x - 1 là 1, bậc của đa thức x2 - 3x là 2 nên không thể thực hiện phép chia.

Do đó dư của phép chia x3 - 3x2 + x - 1 cho x2 - 3x bằng x - 1.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 43 Tập 2

Bài 7.30 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Tính:

a) 8x5 : 4x3; b) 120x7 : (-24x5);

c) 34(-x)3 : 18x d) -3,72x4 : (-4x2).

Lời giải:

a) 8x5 : 4x3 = (8 : 4) . (x5 : x3) = 2x2.

b) 120x7 : (-24x5) = [120 : (-24)] . (x7 : x5) = -5x2.

c) 34(-x)3 : 18x = 34. (-x3) : 18x = −34:18 . (x3 : x) = −34.8x3-1 = - 6x2.

d) -3,72x4 : (-4x2) = [(-3,72) : (-4)] . (x4 : x2) = 0,93x2.

Bài 7.31 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia đa thức sau:

a) (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x);

b) (-2x5 - 4x3 + 3x2) : 2x2.

Lời giải:

a) (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x)

= (-5x3) : (-5x) + 15x2 : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5) : (-5)] . (x3 : x) + [15 : (-5)] . (x2 : x) + [18 : (-5)] . (x : x)

= x2 + (-3)x + (- 3,6)

= x2 - 3x - 3,6

b) (-2x5 - 4x3 + 3x2) : 2x2

= (-2x5) : 2x2 + (-4x3) : 2x2 + 3x2 : 2x2

= (-2 : 2) . (x5 : x2) + (-4 : 2) . (x3 : x2) + (3 : 2) . (x2 : x2)

= -x3 + (-2)x + 1,5

= -x3 - 2x + 1,5

Bài 7.32 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:

a) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);

b) (4x4 + 14x3 - 21x - 9) : (2x2 - 3).

Lời giải:

a) Đặt tính chia như sau:

Vậy (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1) = 2x2 - 3.

b) Đặt tính chia như sau:

Vậy (4x4 + 14x3 - 21x - 9) : (2x2 - 3) = 2x2 + 7x + 3.

Bài 7.33 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia 0,5x5 + 3,2x3 - 2x2 cho 0,25xn trong mỗi trường hợp sau:

a) n = 2;

b) n = 3.

Lời giải:

a) Với n = 2 ta có

(0,5x5 + 3,2x3 - 2x2) : 0,25x2

= 0,5x5 : 0,25x2 + 3,2x3 : 0,25x2 + (-2x2) : 0,25x2

= (0,5 : 0,25) . (x5 : x2) + (3,2 : 0,25) . (x3 : x2) + (-2 : 0,25) . (x2 : x2)

= 2x3 + 12,8x - 8

b) Với n = 3 thì đa thức chia 0,25x3 có bậc bằng 3.

Trong đa thức bị chia 0,5x5 + 3,2x3 - 2x2 có hạng tử -2x2 có bậc bằng 2 < 3 nên ta thực hiện đặt tính chia:

Vậy 0,5x5 + 3,2x3 - 2x2 = 0,25x3 . (2x2 + 12,8) - 2x2.

Bài 7.34 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:

F(x) = G(x) . Q(x) + R(x).

a) F(x) = 6x4 - 3x3 + 15x2 + 2x - 1; G(x) = 3x2.

b) F(x) = 12x4 + 10x3 - x - 3; G(x) = 3x2 + x + 1.

Lời giải:

a) Đặt tính chia như sau:

Do đó Q(x) = 2x2 - x + 5; R(x) = 2x - 1.

Vậy 6x4 - 3x3 + 15x2 + 2x - 1 = 3x2 . (2x2 - x + 5) + 2x - 1.

b) Đặt tính chia như sau:

Do đó Q(x) = 4x2 + 2x - 2; R(x) = -x - 1.

Vậy 12x4 + 10x3 - x - 3 = (3x2 + x + 1) . (4x2 + 2x - 2) - x - 1.

Bài 7.35 trang 43 Toán 7 Tập 2:

Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x - 4 cho 3x2.

Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Lời giải:

Ta thấy bậc của đa thức bị chia 21x - 4 (là 1) nhỏ hơn bậc của đa thức chia 3x2 (là 2).

Do đó không thể thực hiện được phép chia.

Vậy thương của phép chia bằng 0 và dư của phép chia là 21x - 4.

Lý thuyết Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến - Kết nối tri thức

1. Làm quen phép chia đa thức

• Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0). Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q (hay AB=Q), trong đó

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia (kí hiệu B ≠ 0 có nghĩa B không phải là đa thức không).

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Cho hai đơn thức axm và bxn (m; n ∈ ℕ, a; b ∈ ℝ, b ≠ 0).

Khi đó nếu m ≥ n thì ta có phép chia axm cho bxn là phép chia hết và ta có:

axm : bxn = abxm - n (quy ước: x0 = 1).

Ví dụ:

+ Tính 3x7 : −12x4 ta làm như sau: 3x7 : −12x4 = 3:−12x7−4 = - 6x3.

Chú ý:

• axm : bxn được hiểu là axm : (bxn)

Chẳng hạn: 4x5 : 2x2 được hiểu là 4x5 : (2x2).

2. Chia đa thức cho đa thức

• Muốn chia một đa thức cho một đa thức, ta đặt tính và chia (tương tự phép chia hai số tự nhiên) cho đến khi được đa thức dư là đa thức không, hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

• Khi đặt tính chia, nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

• Nếu chia đa thức A cho đa thức B, ta được đa thức thương là Q, đa thức dư là R thì:

+ Đa thức dư R = 0 (khi chia hết) hoặc R là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức B (nếu không chia hết).

+ Ta có đẳng thức: A = B.Q + R.

Ví dụ:

+ Cho A = 2x3 - 5x2 + 6x - 15; B = 2x - 5. Để tính A : B ta làm như sau:

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức A cho đa thức B là phép chia hết, có đa thức thương là x2 + 3.

+ Cho đa thức P = 5x3 - 3x2 + x - 7; Q(x) = x2 + 1. Để tính P : Q ta làm như sau

Dư cuối cùng có bậc thấp hơn bậc của đa thức chia nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức P cho đa thức Q là phép chia có dư, có đa thức thương là 5x - 3, đa thức dư là - 4x - 4.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức có thể không cần đặt tính chia.

Chẳng hạn chia đa thức 6x3 - 2x2 + x cho đơn thức 0,5x, ta làm như sau:

(6x3 - 2x2 + x) : 0,5x

= 6x3 : 0,5x - 2x2 : 0,5x + x : 0,5x

= 12x2 - 4x + 2.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 45

Bài tập cuối chương 7

Bài 29: Làm quen với biến cố

Bài 30: Làm quen với xác suất của biến cố

Luyện tập chung trang 57